从一个问题到一个可检验的模型

第一步：把愿望改写成可观察的问题

“更好”“更快”“更合理”适合作为动机，却还不足以成为模型。先说明当前系统、可以改变的部分、希望改善的结果，以及比较所依据的时间和条件。指标只是问题的一个表达，应检查它是否真的对应原来的需要。

例如，安排若干项任务时，希望尽量缩短总耗时，还可能要求某些任务先完成、某类资源不能同时使用。先从这个简单情境出发，逐步明确模型中的各个部分。

变量是准备求解或决定的量，参数是当前模型中视为已知的量，观测是实际获得的数据。三者的角色取决于问题设置：某个量在一个模型中固定，在另一个模型中也可以成为需要估计的变量。先给符号、单位和允许取值，再写公式。

沿着任务安排的例子，开始时间可以是决策变量，预计耗时可以是输入参数，实际完成时间则是之后的观测。如果预计耗时不确定，应该记录不确定性的来源，不能因为它写进了公式就把它当作准确事实。

目标函数表达偏好，约束表达允许的范围。一个常见抽象是：在 gᵢ(x) ≤ 0、hⱼ(x) = 0 与 x ∈ X 的条件下，寻找使 f(x) 尽量小的 x。约束可能来自物理规律、业务规则或建模简化，需要注明出处。

多目标问题未必能自然合成一个数字。若将时间、成本和误差加权求和，权重就表达了取舍；单位不同的量也不能直接相加。先展示可接受的方案范围，再讨论偏好，有时比急着给一个“最优解”更清楚。

问题：希望改善什么，如何测量？
变量：可以决定什么，取值范围是什么？
参数：哪些量暂时已知，单位是什么？
目标：什么结果更好，为什么？
约束：什么必须满足，来自哪里？
假设：忽略了什么，何时可能失效？
验证：用什么证据判断模型是否有用？

先用可以手算的例子检查符号与单位，再检查极端输入、空输入和约束冲突。若不存在满足条件的方案，应报告不可行，而不是强行输出一个看起来不错的数字。若有简单基线，也应比较复杂方法增加的成本是否带来相应收益。

还可以逐个扰动关键参数，观察结论是否突然改变。对输入误差极其敏感的方案，需要更谨慎地解释。计算出的最优性只针对写下的模型，不自动等于现实中的最佳选择。

需要预测的模型，应考虑独立数据上的表现；用于决策的模型，应检查可行性、成本与实际后果；纯理论问题，则需要明确证明覆盖的假设。每一类证据回答的问题不同，不能互相替代。

保留一个朴素的问题：什么观察会说明这个模型不够好？把答案写出来，模型才具有被修正的机会。建模不是尽快把问题写成公式，而是让假设、计算与现实之间的关系逐步变得清楚。